Расчет главного собственного вектора матрицы, вектора приоритетов и главного собственного числа

Следующий шаг состоит в вычислении главного собственного вектора. В математических терминах это - вычисление главного собственного вектора, который после нормализации становится вектором приоритетов. В отсутствии ЭВМ, позволяющей точно решить эту задачу, можно получить грубые оценки этого вектора следующими четырьмя способами, которые представлены ниже в порядки увеличения точности оценок.

) Суммировать элемент каждой строки и нормализовать делением каждой суммы на сумму всех элементов; сумма полученных результатов будет равна единице. Первый элемент результирующего вектора будет приоритетом первого объекта, второй - второго объекта, и.т.д.

) Суммировать элементы каждого столбца и получить обратные величины этих сумм. Нормализовать их так, чтобы их сумма равнялась единице, разделить каждую обратную величину на сумму всех обратных величин.

) Разделить элементы каждого столбца на сумму элементов этого столбца (т.е. нормализовать столбец), затем сложить элементы каждой полученной строки и разделить эту сумму на число элементов строки. Это - процесс усреднения по нормализованным столбцам.

) Наиболее точный результат наблюдается при расчете следующим методом, алгоритм, которого, мы рассмотрим более подробно.

-осуществляется перемножение всех элементов каждой строки обратносимметричной матрицы парных сравнений:

(1)

извлекается корень n-й степени каждого из таких произведений. Получаем главный собственный вектор обратносимметричной матрицы парных сравнений.

-осуществляется нормализация полученных чисел путем разделения элементов каждого столбца на сумму элементов этого столбца.

полученный нормализованный вектор и есть вектор приоритетов.

По известному главному собственному вектору матрицы парных сравнений легко определяется главное собственное число. При этом исходным является уравнение:

, (2)

В теории матриц формула (2) отражает тот факт, что w является собственным вектором матрицы С с собственным значением N.

Последовательность расчетов в этом случае сводится к следующей простой схеме.

) Определяется вектор-столбец левой части (2) путем умножения матрицы С на вектор приоритетов получаем вектор-столбец

) Вектор-столбец делится покомпонентно на вектор , получается новый вектор .

) Вычисляется среднее значение по компонентам . Эта величина принимается в качестве главного или максимального собственного числа. Таким образом, имеем:

)

(3)

Заметим, что необходимость перехода к средним вызвана тем, что в соответствии с приведенным выше алгоритмом значения главного собственного вектора вычисляются приближенно. В свою очередь автором, интересующего нас метода анализа иерархий доказано, что собственный вектор обратносимметричной матрицы парных сравнений с наибольшим собственным значением определяет относительное влияние (приоритетность) элементов некоторого уровня на элемент более высокого уровня.


Copyright © 2013 - Все права защищены